* * *
Теперь я
воспользуюсь случаем и приведу эту теорему еще раз – теперь уже, во-первых, в
полном виде, а, во-вторых, буду «вмешиваться» в нее и показывать ошибку.
Ничего страшного
нет в том, что я даю ее вторично – это поистине ключевая теорема Канторовской
теории множеств, всё равно что теорема Пифагора для геометрии. До этой теоремы
Александров доказывает одну за другой много теорем, и во всех результат один –
и такое, и такое, и этакое множество «счетны», т.е. равномощны с множеством
натуральных чисел.[1] А здесь впервые
(!) появляется множество, которое не счетно, т.е. («по-ихнему»)
превосходит счетное множество по «мощности», т.е. по количеству элементов!
И вот, если
окажется, что на самом-то деле никакой превосходящей «мощности» нет, то и не
начинается никакое построение всех дальнейших зданий, – а просто продолжается
предыдущий серый ряд: все множества «счетны», «равномощны» и т.д.
Поэтому данная
теорема поистине ключевая: от нее зависит, начнется канторовская
стройка, – или не начнется. Так что не пожалеем еще немножко места и времени на
столь важный вопрос!
Вот эта теорема,
теперь с моими комментариями; разбираем ее на примере, когда X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b}, а YX изображено на Рис.5 (но при этом, разумеется, имеем в виду
и общий случай):
§19. Пятнадцатая теорема Александрова
Теорема 15. Пусть Х и Y – два произвольных непустых
множества, удовлетворяющих тому единственному условию, чтобы Y состояло более
чем из одного элемента. Множество всех различных отображений множества Х в
множество Y имеет мощность большую, чем мощность множества Х.
При этом мы,
естественно, считаем два отображения f1 и f2 множества Х в множество Y различными, если по
крайней мере для одного элемента х Î
Х элементы f1(х) и f2(х) множества Y различны между собою.
Доказательство. Обозначим через YX множество
всех отображений множества Х в множество Y. В соответствии с определением
неравенства мощностей мы должны доказать два утверждения:
1) Существует взаимно
однозначное отображение множества Х на некоторое подмножество множества YX.
2) Не существует
взаимно однозначного отображения множества Х на всё множество YX.
Для
доказательства первого утверждения[2]
выберем в множестве Y два каких-нибудь различных элемента у′ и у″ и для каждого
элемента х0 множества Х построим отображение fx0 множества Х в множество Y следующим способом:
образ данного элемента х0 при отображении fx0 есть fx0(x0) = y′, а образ всякого
отличного от х0 элемента х ε
Х при отображении fx0 есть fx0(x) = y″. Различным элементам х1, х2 множества
Х соответствуют различные отображения; в самом деле
fx1 (x1) = y′
fx2 (x1) = y″.
Итак, нами
установлено взаимно однозначное соответствие между множеством Х и частью
множества YX.
Докажем теперь,
что не существует никакого взаимно однозначного соответствия между множеством Х
и множеством YX.[3]
Предположим, что
такое соответствие существует, и обозначим через f ξ тот элемент множества YX,
который в силу этого соответствия отвечает элементу ξ множества Х.[4]
Искомое противоречие мы получим, если найдем элемент f множества YX, отличающийся от всех f ξ.
Такой элемент f, т.е. такое
отображение множества Х в множество Y, мы построим следующим образом.
Рассмотрим произвольный элемент ξ множества Х; образ этого элемента при отображении
f ξ есть элемент f ξ(ξ) множества Y. Определим теперь f (ξ), положив f (ξ) = η, где η – произвольный элемент множества Y, выбранный под
единственным условием, чтобы он был отличен от элемента f ξ(ξ)[5]
(это условие всегда выполнимо, так как, по предположению, множество Y содержит
по крайней мере два элемента).
Мы утверждаем,
что отображение f отлично от всех отображений f ξ.[6]
В самом деле, если бы f совпадало с некоторым определенным f ξ, то, в
частности, для элемента ξ ε Х мы имели бы
f(ξ) = f
ξ(ξ),[7]
вопреки определению отображения f. Теорема этим доказана.
Замечание 1. Только что изложенная теорема, принадлежащая
к числу замечательнейших предложений теории множеств, доказана, и притом
приведенным здесь методом, основателем теории множеств Кантором. Самый этот
метод доказательства известен под названием канторова диагонального процесса.
*
 |
 |
Рис.5. Два
варианта при
установлении «факта», что множество YX превосходит по мощности множество X: либо 1)
мы пользуемся Взглядом 1 (возможно, интерпретированным как «зависимая
генерация»), и тогда диагональный процесс создает новый элемент, не
соответствующий ни одному X; либо 2) мы пользуемся Взглядом 2
(возможно, интерпретированным как «независимая генерация»), и тогда
диагональный процесс не создает нового элемента, который не соответствовал бы
ни одному X.
|
|
Итак, Дмитрий
Юрьевич, видите, для чего нужны «зависимая генерация» и «независимая генерация»
и их до-веданские прототипы «Взгляд 1» и «Взгляд 2».
Переведите глаза
на рисунке 5 с одной таблицы на другую и обратно: чик – чик! чик – чик! чик –
чик!... Щелкает тумблер: либо Взгляд 1 (и тогда YX действительно
больше, чем X, но и другие множества тоже больше – или меньше), либо Взгляд 2 (и тогда YX
ни черта не больше X, и нет тогда никаких канторовских каскадов бесконечностей, и все
бесконечные множества равномощны и одинаковы как серенькие мышки!).
Вот Вам мишень
для атаки – ЭТО оспорьте!
И еще один
момент. Обратите внимание, что в формулировке 15-й теоремы Александрова не
оговаривается, что речь идет о бесконечных множествах. (Единственное условие:
чтобы Y имело минимум 2 элемента). Стало быть, всё это рассуждение и
доказательство одинаково действует как на конечные, так и на бесконечные
множества, и пример, изображенный на Рис.5 – вполне законный частный случай
теоремы. И то превосходство в числе элементов YX над X, которое мы в Таб.2
видим непосредственно визуально, – это превосходство здесь, в 15-ой теореме, доказывается
диагональным процессом.
Этот факт
особенно отчетливо показывает, что Александров (и прочие математики,
разумеется), сейчас находятся в области Таблицы 2 (а не Таблицы 3!) и
рассуждают в рамках «зависимой генерации» (Взгляда 1 – неканторовского
взгляда!).
Если бы они
последовательно находились в области Таблицы 3 («независимой генерации или
Взгляда 2), то там просто вступили бы в силу те аргументы, о которых я говорил
в §11.1
и §12 –
о том, что n и 2n не могут быть[8]
одинаковыми бесконечностями и поэтому диагональный процесс провести невозможно.
Но они не находятся в области Таблицы 3; они диагональным процессом
доказывают ту истину, которая нам «интуитивно» ясна из соображений Взгляда 1!
И поэтому я
вынужден акцентировать разделение Взгляда 1 и Взгляда 2 (или «зависимой генерации» и «независимой
генерации») и фиксировать перескакивание математиков с одного взгляда на другой или,
иными словами, логическую ошибку Homonymia.
А если они в
15-ой теореме о множестве отображений YX рассуждают в рамках Взгляда
1, то почему они в теореме 7 (о парах натуральных чисел), в теореме 8 (о
множестве всех рациональных чисел), в теореме 9 (о всех конечных
последовательностях), в теореме 10 (о рациональных точках n-мерного пространства), в теореме 11 (о многочленах с
рациональными коэффициентами), в теореме 12 (об алгебраических числах) – почему
они во всех этих местах тоже не рассуждают в рамках Взгляда 1?
Почему?
При этом взгляде
(Взгляде 1) там тоже получится превосходящая мощность!
А при Взгляде 2 и
у YX нет превосходящей мощности (так как диагональный процесс в этом
случае не проходит; он проходит только при Взгляде 1).
* * *
Итак, для того,
чтобы «Золотая теорема» канторизма была верной, требуется использовать зависимую
генерацию и строить зависимое соответствие (A306). А равномощность других (т.н. «счетных»)
множеств кантористы устанавливают при независимой генерации и независимом
соответствии (A305). При зависимой генерации и четных целых чисел в
два раза меньше, чем всех натуральных чисел. Кантористы не различают
независимое и зависимое соответствие и постоянно прыгают с одного на другое и
обратно.
Марина Ипатьева
21 января 2016
года
[1] Теорема 1. «Всякая часть счетного множества есть
либо конечное, либо счетное множество». Теорема 2. «Сумма конечного или
счетного числа конечных или счетных множеств есть конечное или счетное множество».
Теорема 3. «Всякое бесконечное множество М содержит счетное
подмножество». Теорема 5. «Присоединяя к бесконечному множеству А
счетное или конечное множество В, получим множество A È
В, эквивалентное множеству А». Теорема 7. «Множество Р всех пар натуральных
чисел счетно». Теорема 8. «Множество всех рациональных (т.е. целых и
дробных) чисел счетно». Теорема 9. «Множество S всех конечных
последовательностей, составленных из элементов данного счетного множества D, есть счетное
множество». Теорема 10. «Множество
всех рациональных точек n-мерного пространства счетно». Теорема 11.
«Множество всех многочленов P(x) = a0xn
+ a1xn–1 + ... + an–1x
+ an с рациональными коэффициентами счетно». Теорема 12
(Кантор). «Множество всех алгебраических чисел счетно».
[2] В.Э.: Эту первую часть доказательства теоремы мы
можем пропустить, так как не вызывает сомнений, что можно (взаимно однозначно)
отобразить множество X на часть множества YX.
[3] В.Э.: То есть, что не существует ситуации,
изображенной на Рис.5 в Таблице 3.
[4] В.Э.: Ну, например, если ξ = 8, то f ξ = {1–a, 2–b, 3–b, 4–b},
т.е. при этом отображении 1
отображается на a, а 2, 3 и 4 – на b.
[5] В.Э.: Ну, в нашем примере, значит, меняем
местами a и b.
[6] В.Э.: А зря утверждаете: на Рис.5 Таб.3 же
видно, что диагональный процесс не построил такого отображения f, которое не
соответствовало бы ни одному X.
[7] В.Э.: То есть, в нашем примере, когда ξ = 8, речь идет о
8-й паре x–y, а такой пары вообще не существует; их
всего 4. Следовательно, теорема не может считаться доказанной, если мы держимся
«независимой генерации» (или Взгляда 2 – канторовского взгляда, между прочим!).
Что же, попытаемся в таком случае интерпретировать это доказательство для
варианта «зависимая генерация» (или Взгляда 1): см. Рис.5 Таб.2. Да – теперь не
существует взаимно-однозначного соответствия между множеством X и множеством YX
(это и на глаз видно, что YX длиннее чем X). Но только это ведь та точка зрения, для
которой и множество XY больше, чем X, и (положительных) четных чисел меньше,
чем натуральных. Утверждение теоремы можно считать верным только тогда, если
перескочить на Взгляд 1.
[8] 2n в
случае, когда Y состоит из двух элементов; если же Y состоит из y элементов, то
будет yn.
Комментариев нет:
Отправить комментарий