A306. Зависимая генерация

Зависимая генерация – способ построения двух множеств A и B таким образом, что второе множество строится из первого. (Здесь и далее мы подразумеваем только бесконечные множества, так как ситуация с конечными множествами очевидна и тривиальна). Предполагается либо что первое множество сначала построено «до конца», а потом в результате каких-то манипуляций над ним строится второе множество, либо (что предпочтительнее), что после каждого шага построения первого множества над готовым уже к этому моменту материалом проводятся некоторые манипуляции, которые есть очередной шаг в построении второго множества.

В случае классического примера Кантора с четными числами (см. статью A305), зависимая генерация будет выглядеть так:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	...
2	4	6	8	...

Второе множество здесь строится из первого: после каждого шага генерации первого множества во второе множество помещаются те четные числа из первого, которых еще нет во втором.

Когда первое множество (натуральные числа) построено до элемента «2», то в первом множестве имеются 2 элемента («1» и «2»), а во втором множестве (четные числа) только один элемент («2»).

Когда первое множество построено до элемента «4», то в первом множестве имеются 4 элемента («1», «2», «3» и «4»), а во втором множестве только два элемента («2» и «4»).

И так всегда: когда в первом множестве n элементов, то во втором n/2 элементов (где / в данном случае означает деление по модулю с отбрасыванием остатка).

Так как в этом соотношении ничего не изменится при n → ∞, то мы предполагаем, что и «в бесконечности» четных чисел будет в два раза меньше, чем всех натуральных.

Таким образом, мы видим, что соотношение «мощности» (если пользоваться термином Кантора) множеств всех натуральных и всех четных чисел зависит от способа генерации этих множеств: при независимой генерации они равномощны, а при зависимой генерации НЕ равномощны.

В приведенном только что примере зависимо генерированное множество имело мощность меньшую, чем то множество, из которого оно генерировалось. Но может быть и наоборот: что зависимое множество имеет мощность большую, чем исходное. Так, например, рассмотрим генерацию множества всех подмножеств натуральных чисел.

После первого шага в исходном множестве 1 элемент («1»), а во втором множестве 2 элемента (Ø и «1»).

После второго шага в исходном множестве 2 элемента («1» и «2»), а во втором множестве 4 элемента (Ø , «1», «2» и «1 и 2»).

И так всегда: если в первом множестве n элементов, то во втором 2ⁿ элементов. Так как с ростом n здесь ничего не изменится, то предполагаем, что и «в бесконечности» второе множество будет «мощнее» первого.

Конечно, можно подобрать и такой алгоритм зависимой генерации, чтобы оба множества оставались равномощными, но в целом для зависимой генерации характерно различие в мощностях исходного и зависимого множества. И, главное, различие в мощностях может существовать ТОЛЬКО при зависимой генерации. При независимой генерации (см. статью A305) все бесконечные множества будут иметь одинаковую мощность.

Так, например, то же самое множество всех подмножеств натуральных чисел, которое мы только что генерировали зависимым образом, можно генерировать и независимо от натуральных чисел (параллельно с ними). Синхронизируем оба процесса генерации так, чтобы когда генерация второго множества (множества подмножеств) дошла до состояния, когда в нем имеются элементы Ø и «1», генерация первого множества дошла до элемента «2»; когда во втором множестве элементы Ø , «1», «2» и «1 и 2», первое дошло до элемента «4». И так всегда: когда во втором множестве 2ⁿ элементов, первое дошло до числа k = 2ⁿ. Ясно, что натуральное число k всегда найдется, какое бы ни было n, и таким образом (при независимой генерации) мы установили взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и множеством всех их подмножеств.

Учение канторизма не различает понятия зависимой и независимой генерации и основывается на постоянной путанице в этих вещах. Так, в случае четных чисел кантористы принимают концепцию независимой генерации, а в случае множества всех подмножеств – концепцию зависимой генерации (разумеется, при этом не отдавая себе отчета в том, какие именно концепции ими приняты). На этой путанице построено причудливое и абсолютно алогичное учение.