A245. B-соответствие

B-соответствие – взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел N и множеством вещественных чисел промежутка [0, 1], устанавливаемое применением Алгоритма B.

Алгоритмом B в литературе по Веданской теории (ВТ) называется простой алгоритм генерации всех возможных комбинаций цифр длиной n знаков, когда n неограниченно стремится к бесконечности, а сгенерированные строки располагаются не в возрастающем порядке (как было у Алгоритма A (см. A244), а в некотором ином порядке (см. рис.1), сохраняя однажды им присвоенные номера от шага к шагу.

Если длина строки n, то количество строк равно aⁿ, где – a базис системы счисления (например, 2, 10, 8, 16 и т.п.).

Алгоритм A генерирует Промежуток в порядке возрастания числовых значений, присваиваемых цепочкам двоичных цифр. При этом новые цепочки в ходе генерации возникают в промежутках между предыдущими цепочками, поэтому эти цепочки (и тем самым числа) не могут быть линейно перенумерованы (что не влияет на оценку мощности генерируемого множества, так как соответствие существует после каждого шага генерации).

Алгоритм B действует противоположным образом: генерирует цепочки НЕ в порядке возрастания их числовых значений, но зато так, чтобы их можно было перенумеровать линейно (т.е. генерировать их уже процессом линейным).

Алгоритм B работает так. Первый цикл у него такой же, как у Алгоритма A (см. A244):

Номер продукта	Продукт Алгоритма B
1 2	0,0 0,1

Во втором цикле происходят такие действия: берутся по очереди все уже созданные цепочки, к каждой из них добавляется в конце «1» и образуется новое «число», которое помещается вслед за прежде созданными и получает очередной номер, а к исходной цепочке присоединяется в конце «0» (и считается, что 0,1 = 0,10 – это одно и то же число). Таким образом после второго цикла получаются такие продукты (сгенерированные во втором цикле отмечены зеленым цветом):

Номер продукта	Продукт Алгоритма В
1 2 3 4	0,00 0,10 0,01 0,11

В третьем цикле производится аналогичная операция и получаем следующий продукт (вновь созданные продукты отмечены синим цветом):

Номер продукта	Продукт Алгоритма В
1 2 3 4 5 6 7 8	0,000 0,100 0,010 0,110 0,001 0,101 0,011 0,111

Так продолжаем до бесконечности. В продуктах Алгоритма B содержатся все те же самые цепочки, что и в продуктах Алгоритма A, но только в другом порядке следования. Они теперь линейно перенумерованы (зато сами находятся в «беспорядке»). Таким образом мы взаимно однозначное соответствие между Промежутком и «счетным множеством» установили другим способом, чем прежде. Теперь оно даже линейное соответствие.

Так как продукция Алгоритма B содержит все те же самые цепочки, что и продукция Алгоритма А, то к ней относятся и те же самые выводы.[1]

Рис. 1. Генерация Промежутка Алгоритмом B

---

[1] См., например, МОИ № 27, §31 (стр.66–67).