A244. A-соответствие

A-соответствие – взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел N и множеством вещественных чисел промежутка [0, 1], устанавливаемое двойным применением Алгоритма A.

Алгоритмом A в литературе по Веданской теории (ВТ) называется простой алгоритм генерации всех возможных комбинаций цифр длиной n знаков, когда n неограниченно стремится к бесконечности, а сгенерированные строки располагаются в возрастающем порядке (в порядке возрастания обозначаемых ими чисел). Если длина строки n, то количество строк равно aⁿ, где – a базис системы счисления (например, 2, 10, 8, 16 и т.п.).

A-соответствие между множеством натуральных чисел N и множеством вещественных чисел промежутка [0, 1] устанавливается так, что оба множества генерируются синхронно и параллельно, и оба – по Алгоритму A. Пусть программа, генерирующая N, называется P1, а программа, генерирующая промежуток [0, 1], называется P2, а базис системы счисления a = 2.

Вот продукты обеих программ после нулевого цикла отработки (т.е. до того, как начинает работать собственно Алгоритм A):

P1	P2
	0,

Вот продукты обеих программ после первого цикла отработки:

P1	P2
0 1	0,0 0,1

Вот продукты обеих программ после второго цикла отработки:

P1	P2
00 01 10 11	0,00 0,01 0,10 0,11

Вот продукты обеих программ после третьего цикла отработки:

P1	P2
000 001 010 011 100 101 110 111	0,000 0,001 0,010 0,011 0,100 0,101 0,110 0,111

Все четыре показанные здесь таблички есть одна и та же таблица, только по состоянию после разных шагов ее генерации. Обе программы P1 и P2 работают по алгоритму A (с той лишь разницей, что программа P2 в самом начале – в нулевом цикле – поставила перед генерируемой последовательностью цифр знаки «0,», а программа P1 не поставила; в программе P1 можно добавить погашение ведущих, незначащих нулей, если они мешают).

Алгоритм A здесь состоит в следующем: берется по очереди каждая строка существующей уже таблицы; эта строка копируется в двух экземплярах; к одному экземпляру присоединяется справа «0», а ко второму экземпляру справа «1». Таким образом, после каждого цикла работы (после обработки всех уже сгенерированных строк) в таблице строк становится в два раза больше, а длина строк увеличивается на одну позицию.

После n-того цикла в таблице имеются все возможные комбинации знаков избранного алфавита (в данном случае 0 и 1) длиной n. Ни одна комбинация не пропущена.

Продукции программы P1 после n-того цикла сопоставляем число (натуральное)

σ₁2^n–1 + σ₂2^n–2 + ... + σ_n–12¹ + σ_n2⁰ .

Продукции программы P2 после n-того цикла сопоставляем число (дробь)

σ₁/2¹ + σ₂/2² + ... + σ_n–1/2^n–1 + σ_n/2ⁿ .

После каждого n-того цикла существует взаимно однозначное соответствие между натуральным числом и дробью. После каждого n-того цикла количество натуральных чисел и дробей одинаково.

После n+1-го цикла опять количество одинаковое, опять существует взаимно однозначное соответствие между числами, но это уже другое соответствие, чем то, которое было после n-того цикла. (Например, после второго цикла натуральному числу 2 соответствует дробь ½, а после третьего цикла тому же числу 2 соответствует уже дробь  ¼). Соответствие всё время есть, но нет соответствия, которое сохранилось бы от цикла к циклу. Это издержки требования, чтобы дроби генерировались в возрастающем порядке. Если отказаться от этого требования и генерировать дроби в некотором «запутанном» порядке, то им можно присвоить уже фиксированные, не меняющиеся от цикла к циклу, номера. Это будет уже Алгоритм B (статья A245).

Но и при меняющейся, «скользящей» нумерации дробей в продукции программ P1 и P2 очевидно, что количество сгенерированных натуральных чисел и дробей одинаково. (То есть, мощность обоих множеств одинакова).

Главный момент здесь заключается в независимой, параллельной генерации обоих множеств (и синхронизации шагов генерации).

Веданская теория не нуждается в вводе актуальной бесконечности: ей достаточно потенциальной бесконечности: число знаков n всё растет и растет. Любое наперед заданное натуральное число N может быть сгенерировано программой P1, а программа P2 может довести дроби до любого наперед заданного знака за запятой.

Невозможно указать максимальное число знаков (цифр), какое может быть в записи натурального числа, и в этом смысле натуральные числа бесконечно большие.

Невозможно указать максимальное число знаков, сколько может быть у дроби за запятой, и в этом смысле дроби бесконечные.

Кантористы, когда они вводят актуальную бесконечность, делают это только для продукции программы P2: они объявляют, что существуют (актуально) бесконечные дроби, но отрицают, что в таком случае существуют и актуально бесконечные натуральные числа.

Создавая искусственный перекос при вводе актуальной бесконечности, они тем самым произвольно постулируют, что мощность промежутка [0, 1] больше мощности множества N.